Guía completa para el cálculo de límites por aproximación técnicas y ejemplos

Aproximaciones de Límites: Cuando una función f(X) se acerca cada vez más al valor L a medida que la variable X se aproxima a "a", decimos que ese valor es el límite de la función.

Explorando los métodos empleados en la búsqueda de un límite

Introducción al concepto de límite en el cálculo

En el estudio del cálculo, uno de los conceptos fundamentales y esenciales es el límite. Este valor representa la tendencia de una función a medida que su variable independiente se acerca a un número determinado. En este artículo, exploraremos algunas técnicas para calcular límites y brindaremos ejemplos prácticos para una mejor comprensión.

Sustitución directa como técnica para calcular límites

Una de las técnicas más comunes para calcular límites es la sustitución directa. Esta se usa cuando es posible evaluar directamente una función en el punto de interés. Por ejemplo, si queremos calcular el límite de una función f(x) cuando x tiende a un número a, podemos simplemente sustituir x por a en la expresión de la función y obtener el resultado. Si obtenemos un valor definido, ese será el límite.

Por ejemplo, si f(x) = 2x + 3 y queremos calcular el límite de f(x) cuando x tiende a 2, simplemente sustituimos x por 2 en la expresión y obtenemos el resultado: f(2) = 2(2) + 3 = 7.

Factorización como técnica para calcular límites

Otra técnica común para calcular límites es la factorización. Esta se usa cuando una función puede simplificarse mediante la factorización de términos comunes. Por ejemplo, si tenemos la función g(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) y queremos calcular el límite de g(x) cuando x tiende a 2, podemos factorizar el numerador como (x – 2)(x + 2) y cancelar el factor común (x – 2) en el numerador y el denominador.

Esto nos deja con la función simplificada g(x) = x + 2. Ahora podemos sustituir x por 2 en la expresión y obtener el límite: g(2) = 2 + 2 = 4.

El concepto de límite

Decimos que x se acerca a a cuando x se aproxima cada vez más a a, sin igualarlo.

Si x se acerca a a desde valores menores, se dice que se acerca a a por la izquierda (x →, a^-). Si por el contrario, se acerca a a desde valores mayores, se dice que se acerca a a por la derecha (x →, a⁺).

Cuando la variable x de una función f tiende a a, nos preguntamos si sus imágenes también tienden a un valor determinado.

Asíntotas de una función

Una recta asintótica se define como aquella hacia la cual se aproxima una función indefinidamente a medida que su variable independiente crece infinitamente, lo que significa que la distancia entre la recta y la función se acorta progresivamente.

Tipos de discontinuidades

Definición: La discontinuidad de primera especie hace referencia a aquellas funciones que presentan saltos en un punto concreto de su dominio. Existen dos tipos de discontinuidad de primera especie: salto finito y salto infinito.

En el primer caso, una función $f$ tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto finito en el punto $a$ si existen los límites laterales de $f(x)$ cuando $xrightarrow a$ pero

En cambio, en el caso de la discontinuidad de 1ª especie de salto infinito, se habla de una situación en la que

El método para resolver límites mediante aproximaciones

Resolución de límites por aproximación

En el estudio del cálculo de límites, una de las técnicas más utilizadas es la aproximación de límites mediante la sustitución de valores cercanos. Esta técnica consiste en acercar el valor de una función a un punto determinado reemplazando la variable independiente por valores cercanos. A continuación, evaluamos la función con este valor para obtener el resultado deseado.

Técnica de aproximación por sustitución directa

Otra de las técnicas utilizadas para resolver límites por aproximación es la sustitución directa. En esta técnica, simplemente reemplazamos el valor de la variable en la función por el valor hacia el cual se desea aproximar el límite. A continuación, evaluamos la función con este valor para obtener el resultado deseado.

Ejemplo práctico

Vamos a analizar la función f(x) = x^2 – 3x + 2. Si queremos calcular el límite de esta función cuando x se acerca a 2, simplemente sustituimos el valor 2 por la variable x en la función. De esta manera, obtenemos el siguiente resultado:

f(2) = 2^2 – 3(2) + 2 = 4 – 6 + 2 = 0

De este modo, hemos resuelto el límite por aproximación de manera simple y eficaz utilizando la técnica de sustitución directa. Este ejemplo nos ayuda a visualizar la importancia de la aproximación en el estudio de límites y cómo podemos aplicarla en diferentes funciones para obtener el resultado deseado.

Funciones racionales

Una función racional es aquella que se puede expresar como el cociente de dos polinomios, es decir, si tenemos una función $f(x)=dfrac{p(x)}{q(x)}$ con $p(x)$ y $q(x)$ como polinomios.

Es importante destacar que si el denominador $q(x)$ tiene una raíz en el punto $ainmathbb{R}$, el límite de la función en ese punto puede ser o no existente.

Por ejemplo, si tenemos $f(x)=dfrac{x}{x-1}$, el límite de $f$ en $a=1$ no existe, ya que $1$ es una raíz del denominador.

Funciones potenciales

Otra clase de funciones muy comunes son las funciones potenciales, que tienen la forma $f(x)=x^r$ con $rinmathbb{R}$. En este caso, el límite de la función en un punto $a$ existe siempre que exista un intervalo $(a-delta, a+delta)$ contenido en el dominio de la función.

Por ejemplo, consideremos $f(x)=x^{1/2}$. En este caso, el límite de $f$ en $a=0$ existe, ya que podemos encontrar un intervalo $(0-delta,0+delta)$ incluido en el dominio de $f$.

Es importante notar que el límite de una función potencial en un punto $a$ siempre es igual al valor de la función en ese punto, es decir, $lim_{xrightarrow a}f(x)=f(a)$.